“備忘”的定義
“memoization”（備忘）這個詞是由Donald Michie在1968年提出的，它基于拉丁語單詞“memorandum”（備忘錄），意思是“被記住”。雖然它和單詞“memorization”在某種程度上有些相似，但它并不是該單詞的錯誤拼寫。實際上，Memoisation是一種用于通過計算來加速程序的技術，它通過記住輸入量的計算結果，例如函數調用結果，來實現其加速目的。如果遇到相同的輸入或者具有相同參數的函數調用，那么之前存儲的結果就可以被再次使用，從而避免一些不必要的計算。在很多情況下，可以使用一個簡單的數組來存儲結果，但也可以使用許多其他的數據結構，例如關聯數組，它在Perl語言中叫做哈希，在Python語言中稱為字典。
備忘功能可以由程序員顯式地編程實現，但是一些編程語言如Python，都提供了自動備忘函數的機制。
利用函數裝飾器實現備忘功能
在前面關于遞歸函數的那章中，我們分別使用迭代和遞歸實現了斐波納契數列的求解。我們已經證明，如果直接利用斐波納契數列的數學定義，在一個遞歸函數中實現數列的求解，正如下面的函數一樣，那么它將具有指數級的時間復雜度：
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def fib(n): if n == 0: return 0 elif n == 1: return 1 else: return fib(n-1) + fib(n-2) |
此外，我們還提出了一種提高遞歸實現的時間復雜度的方法，即通過添加一個字典來記住之前函數的計算結果。這是一個顯式地使用備忘技術的例子，只是當時我們并沒有這么稱呼它。這種方法的缺點是，原始遞歸實現的明晰性和優雅性丟失了。
造成以上缺點的原因是，我們改變了遞歸函數fib的代碼。不過下面的代碼不會改變我們的fib函數，所以它的明晰性和易讀性并沒有丟失。為了實現該目的，我們使用自定義的函數memoize()。函數memoize()以函數作為參數，并使用一個字典“memo”來存儲函數的結果。雖然變量“memo”和函數“f”僅僅具有局部備忘功能，但是它們通過函數“helper”被一個閉包捕獲，而memoize()將函數“helper”作為引用返回。所以，對memoize(fib)的調用將會返回一個helper()的引用，而在helper()中實現了fib()函數的功能以及一個用于保存還未存儲的結果到字典“memo”中的包裝器，并防止重新計算“memo”中已有的結果。
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def memoize(f): memo = {} def helper(x): if x not in memo: memo[x] = f(x) return memo[x] return helper def fib(n): if n == 0: return 0 elif n == 1: return 1 else: return fib(n-1) + fib(n-2) fib = memoize(fib) print(fib(40)) |
現在讓我們了解下所謂的裝飾器，首先看一下上面代碼中將備忘功能指派到fib函數的這一行：
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fib = memoize(fib) |
一種說法是，函數memoize()裝飾了函數fib。
將Memoize封裝成類
我們還可以將結果的緩存封裝到一個類中，如下面的例子所示：
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class Memoize: def __init__(self, fn): self.fn = fn self.memo = {} def __call__(self, *args): if args not in self.memo: self.memo[args] = self.fn(*args) return self.memo[args] |
因為我們使用了字典，所以不能使用可變參數，即參數必須是不可變的。
Python中的裝飾器
Python中的裝飾器是一個可調用的Python對象，用于修改一個函數、方法或者類的定義。原始的對象，也就是即將被改變的那個對象，作為參數傳遞給一個裝飾器，而裝飾器則返回一個修改過的對象，例如一個修改過的函數，它會被綁定到定義中使用的名字上。Python中的裝飾器與Java中的注解有一個相似的語法，即Python中的裝飾器語法可以看作是純粹的語法糖，使用“@”作為關鍵字。
示例：使用裝飾器實現備忘功能
其實，前面我們已經使用了裝飾器，只是沒有這么稱呼它而已。實際上，本章開頭例子中的memoize函數就是一個裝飾器，我們使用它來記住fib函數的結果，只是我們沒有使用Python中裝飾器特殊的語法而已，即艾特字符“@”。
相比于寫成下面的形式
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fib = memoize(fib) |
我們可以這樣寫
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@memoize |
但這一行必須直接寫在被裝飾的函數之前，在我們的例子fib()中，如下所示：
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def memoize(f): memo = {} def helper(x): if x not in memo: memo[x] = f(x) return memo[x] return helper @memoizedef fib(n): if n == 0: return 0 elif n == 1: return 1 else: return fib(n-1) + fib(n-2) #fib = memoize(fib) print(fib(40)) |
利用裝飾器檢查參數
在講解遞歸函數的那章中我們介紹了階乘函數，在那里我們希望保持函數盡可能簡單，而不想掩蓋基本理念，所以代碼中沒有包含任何參數檢查代碼。然而，如果別人以負數或者浮點數作為參數來調用我們的函數，那么函數將會陷入一個死循環。
下面的程序使用一個裝飾器函數來確保傳給函數“factorial”的參數是一個正整數：
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def argument_test_natural_number(f): def helper(x): if type(x) == int and x > 0: return f(x) else: raise Exception("Argument is not an integer") return helper @argument_test_natural_numberdef factorial(n): if n == 1: return 1 else: return n * factorial(n-1) for i in range(1,10): print(i, factorial(i)) print(factorial(-1)) |
練習
1、我們的練習是一個古老的謎題。1612年，法國耶穌會士Claude-Gaspar Bachet提出了該謎題，即使用一個天平稱出從1磅到40磅的所有整數重量的東西（例如，糖或者面粉），求最少的砝碼數量。
第一個方法可能是使用1、2、4、8、16和32磅重量的這些砝碼。如果我們將砝碼放在天平的一端，而將物品放在另一端，那么這種方法用到的砝碼數量將是最小的。然而，我們也可以將砝碼同時放在天平的兩端，此時我們僅僅需要重量為1、3、9、27的砝碼。
編寫一個Python函數weigh()，該函數計算需要的砝碼以及它們在天平盤中的分布，以此來稱量1磅到40磅中任何一個整數重量的物品。
解決方法
1、我們需要前面章節“Linear Combinations”中的函數linear_combination()。
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def factors_set(): factors_set = ( (i,j,k,l) for i in [-1,0,1] for j in [-1,0,1] for k in [-1,0,1] for l in [-1,0,1]) for factor in factors_set: yield factor def memoize(f): results = {} def helper(n): if n not in results: results[n] = f(n) return results[n] return helper @memoizedef linear_combination(n): """ returns the tuple (i,j,k,l) satisfying n = i*1 + j*3 + k*9 + l*27 """ weighs = (1,3,9,27) for factors in factors_set(): sum = 0 for i in range(len(factors)): sum += factors[i] * weighs[i] if sum == n: return factors |
2、利用上面的代碼，就能很容易寫出我們的函數weigh()。
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def weigh(pounds): weights = (1,3,9,27) scalars = linear_combination(pounds) left = "" right = "" for i in range(len(scalars)): if scalars[i] == -1: left += str(weights[i]) + " " elif scalars[i] == 1: right += str(weights[i]) + " " return (left,right) for i in [2,3,4,7,8,9,20,40]: pans = weigh(i) print("Left pan: " + str(i) + " plus " + pans[0]) print("Right pan: " + pans[1] + "n") |
