堆
堆(heap)是計算機科學中一類特殊的數據結構的統稱，通常是一個可以被看做一棵樹的數組對象。
堆{k1,k2,ki,…,kn} (ki <= k2i,ki <= k2i+1)|(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)
關于堆：
- 堆中某個節點的值總是不大于或不小于其父節點的值；
- 堆總是一棵完全二叉樹（下面）。
- 將根節點最大的堆叫做最大堆或大根堆，根節點最小的堆叫做最小堆或小根堆。
完全二叉樹
說到堆排序，就不能不提完全二叉樹，這些基本概念在網上到處都是，我摘了個最簡單的。。
完全二叉樹：除最后一層外，每一層上的節點數均達到最大值；在最后一層上只缺少右邊的若干結點。
我自己總結認為，正是因為有下面兩個特點，
- 只允許最后一層有空缺結點且空缺在右邊，即葉子結點只能在層次最大的兩層上出現（存儲方式的規則性）；
- 若i>1，tree的雙親為tree[i div 2]（其父子結點值的規律性）；
才使得其進行排序非常方便。
堆排序
堆排序求升序用大頂堆，求降序用小頂堆。
本例用求降序的小頂堆來解析。
堆排序步驟如下：
1、我們將數據（49、38、65、97、76、13、27、50）建立一個數組$arr；
2、用數組$arr建立一個小頂堆（主要步驟，會在代碼注釋里解釋，下圖是用一個數組建立小頂堆的過程）；
3、將堆的根（最小的元素）與最后一個葉子交換，并將堆長度減一，跳到第二步；
4、重復2-3步，直到堆中只有一個結點，排序完成。
堆排序的php實現
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//因為是數組,下標從0開始,所以,下標為n根結點的左子結點為2n+1,右子結點為2n+2; //初始化值,建立初始堆$arr=array(49,38,65,97,76,13,27,50);$arrsize=count($arr);//將第一次排序抽出來，因為最后一次排序不需要再交換值了。buildheap($arr,$arrsize);for($i=$arrsize-1;$i>0;$i--){ swap($arr,$i,0); $arrsize--; buildheap($arr,$arrsize); }//用數組建立最小堆function buildheap(&$arr,$arrsize){ //計算出最開始的下標$index,如圖,為數字"97"所在位置,比較每一個子樹的父結點和子結點,將最小值存入父結點中 //從$index處對一個樹進行循環比較,形成最小堆 for($index=intval($arrsize/2)-1; $index>=0; $index--){ //如果有左節點,將其下標存進最小值$min if($index*2+1<$arrsize){ $min=$index*2+1; //如果有右子結點,比較左右結點的大小,如果右子結點更小,將其結點的下標記錄進最小值$min if($index*2+2<$arrsize){ if($arr[$index*2+2]<$arr[$min]){ $min=$index*2+2; } } //將子結點中較小的和父結點比較,若子結點較小,與父結點交換位置,同時更新較小 if($arr[$min]<$arr[$index]){ swap($arr,$min,$index); } } }}//此函數用來交換下數組$arr中下標為$one和$another的數據function swap(&$arr,$one,$another){ $tmp=$arr[$one]; $arr[$one]=$arr[$another]; $arr[$another]=$tmp;} |
下面是排序的最終結果：
堆用來進行全排序，時間復雜度是o(nlogn)
而快排用來全排序，平均時間復雜度也是o(nlogn)
但堆排序可以用來求 topk 時，堆的時間復雜度為o(klog2(n)，因為它只需要進行 k 輪排序即可。
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