一、圖的定義
圖是一種比樹更復(fù)雜的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),在圖結(jié)構(gòu)中,結(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系是任意的,任意兩個元素之間都可能相關(guān),因此,它的應(yīng)用極廣。圖中的數(shù)據(jù)元素通常被稱為頂點(diǎn) ( V e r t e x ) (Vertex) (Vertex), V V V是頂點(diǎn)的有窮非空集合, V R VR VR是兩個頂點(diǎn)之間的關(guān)系的集合(可以為空),可以表示為圖 G = { V , { V R } } G={V,{VR}} G={V,{VR}}。
二、相關(guān)術(shù)語
2.1 無向圖
給定圖 G = { V , { E } } G={V,{E}} G={V,{E}},若該圖中每條邊都是沒有方向的,則稱其為無向圖
( U n d i g r a p h ) (Undigraph) (Undigraph)。對圖 G G G中頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w的關(guān)系,可用無序?qū)?( v , w ) (v,w) (v,w)表示,它是連接 v v v和 w w w的一條邊 ( E d g e ) (Edge) (Edge)。
2.2 有向圖
給定圖 G = { V , { A } } G={V,{A}} G={V,{A}},若該圖中每條邊都是有方向的,則稱其為有向圖
( D i g r a p h ) (Digraph) (Digraph)。對圖 G G G中頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w的關(guān)系,可用有序?qū)?< v , w > <v,w> <v,w>表示,它是從 v v v到 w w w的一條弧 ( A r c ) (Arc) (Arc),其中 v v v被稱為弧尾
( T a i l ) (Tail) (Tail), w w w被稱為弧頭
( H e a d ) (Head) (Head)。
弧尾也叫初始點(diǎn) ( I n i t i a l (Initial (Initial N o d e ) Node) Node),弧頭也叫終端點(diǎn) ( T e r m i n a l (Terminal (Terminal N o d e ) Node) Node)。
2.3 完全圖
對于任一無向圖,若其頂點(diǎn)的總數(shù)目為 n n n,邊的總數(shù)目為 e = n ( n − 1 ) 2 e=frac {n(n-1)} {2} e=2n(n−1)?,則稱其為完全圖
( C o m p l e t e d (Completed (Completed G r a p h ) Graph) Graph)。
2.4 有向完全圖
對于任一有向圖,若其頂點(diǎn)的總數(shù)目為 n n n,邊的總數(shù)目為 e = n ( n − 1 ) e=n(n-1) e=n(n−1),則稱其為有向完全圖
。
2.5 稀疏圖和稠密圖
對于具有 n n n個頂點(diǎn), e e e條邊或弧的圖來說,若 e e e很小,比如 e < n log ? n e<nlog n e<nlogn,則稱其為稀疏圖
( S p a r s e (Sparse (Sparse G r a p h ) Graph) Graph),反之稱其為稠密圖
( D e n s e (Dense (Dense G r a p h ) Graph) Graph)。
2.6 權(quán)和網(wǎng)
賦予圖中邊或弧的數(shù)值稱為權(quán)
( W e i g h t ) (Weight) (Weight),它可以表示從一個頂點(diǎn)到另一個頂點(diǎn)的距離;帶權(quán)的圖稱為網(wǎng)
( N e t w o r k ) (Network) (Network)。
2.7 稀疏網(wǎng)和稠密網(wǎng)
帶權(quán)的稀疏圖、稠密圖稱為稀疏網(wǎng)
、稠密網(wǎng)
。
2.8 子圖
對于圖 G = { V , { E } } G={V,{E}} G={V,{E}}和圖 G ′ = { V ′ , { E ′ } } G"={V",{E"}} G′={{C}V′,{{C}E′}},若 V ′ ⊆ V V"subseteq V V′⊆V且 E ′ ⊆ E E"subseteq E E′⊆E,則稱 G ′ G" G′為 G G G的子圖
( S u b g r a p h ) (Subgraph) (Subgraph)。
2.9 鄰接點(diǎn)
對于無向圖 G = { V , { E } } G={V,{E}} G={V,{E}},若 v ∈ V vin V v∈V、 w ∈ V win V w∈V且 ( v , w ) ∈ E (v,w)in E (v,w)∈E,則稱頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w互為鄰接點(diǎn)
( A d j a c e n t ) (Adjacent) (Adjacent),并稱邊 ( v , w ) (v,w) (v,w)依附 ( I n c i d e n t ) (Incident) (Incident)于頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w,或稱邊 ( v , w ) (v,w) (v,w)與頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w相關(guān)聯(lián)。
對于有向圖 G = { V , { A } } G={V,{A}} G={V,{A}},若 v ∈ V vin V v∈V、 w ∈ V win V w∈V且 < v , w > ∈ A <v,w>in A <v,w>∈A,則稱頂點(diǎn) v v v鄰接到頂點(diǎn) w w w,頂點(diǎn) w w w鄰接自頂點(diǎn) v v v,并稱弧 < v , w > <v,w> <v,w>與頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w相關(guān)聯(lián)。
2.10 度、入度與出度
在無向圖中,頂點(diǎn) v v v的度
( D e g r e e ) (Degree) (Degree)等于與該頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目,記為 T D ( v ) TD(v) TD(v)。
在有向圖中,頂點(diǎn) v v v的度
等于該頂點(diǎn)的入度與出度之和,記為 T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) TD(v)=ID(v)+OD(v) TD(v)=ID(v)+OD(v),其中頂點(diǎn) v v v的入度
( I n D e g r e e ) (InDegree) (InDegree)為以該頂點(diǎn)為弧頭的弧的數(shù)目,記為 I D ( v ) ID(v) ID(v),頂點(diǎn) v v v的出度
( O u t D e g r e e ) (OutDegree) (OutDegree)為以該頂點(diǎn)為弧尾的弧的數(shù)目,記為 O D ( v ) OD(v) OD(v)。
2.11 路徑、簡單路徑與路徑長度
路徑
( P a t h ) (Path) (Path)是任意兩個有關(guān)聯(lián)的頂點(diǎn)之間的邊或弧,在圖 G = { V , { V R } } G={V,{VR}} G={V,{VR}}中,頂點(diǎn) v 1 v_1 v1?到頂點(diǎn) v n v_n vn?的路徑是一個頂點(diǎn)序列 ( v 1 , v 2 , … , v i , v j , … , v n ) (v_1,v_2,dots,v_i,v_j,dots,v_n) (v1?,v2?,…,vi?,vj?,…,vn?),對于上述序列中的任意相鄰的頂點(diǎn) v i v_i vi?和 v j v_j vj?,若圖 G G G是無向圖,則有 ( v , w ) ∈ E (v,w)in E (v,w)∈E,若圖 G G G是有向圖,則有 < v , w > ∈ A <v,w>in A <v,w>∈A。
對于給定的一條路徑,若該路徑對應(yīng)的序列中的頂點(diǎn)不重復(fù),則稱為該路徑為簡單路徑
。
路徑上邊或弧的數(shù)目稱為路徑長度
。
2.12 回路與簡單回路
若某一路徑中的第一個頂點(diǎn)和最后一個頂點(diǎn)相同,則稱該路徑為回路
,也稱為環(huán)
( C y c l e ) (Cycle) (Cycle)。
在某一回路中,若除去第一個頂點(diǎn)和最后一個頂點(diǎn)外,其余頂點(diǎn)均不重復(fù),則稱為該回路為簡單回路
,也稱為簡單環(huán)
。
2.13 連通圖與連通分量
在無向圖中,若從頂點(diǎn) v v v到頂點(diǎn) w w w有路徑,則稱為 v v v到 w w w是連通的,若該圖中的任意兩個頂點(diǎn)間都是連通的,則稱該圖為連通圖
( C o n n e c t e d (Connected (Connected G r a p h ) Graph) Graph)。無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量
( C o n n e c t e d (Connected (Connected C o m p o n e n t ) Component) Component)。這里的極大就是盡可能地包含更多的頂點(diǎn)。
2.14 強(qiáng)連通圖與強(qiáng)連通分量
在有向圖中,若從頂點(diǎn) v v v到頂點(diǎn) w w w有路徑,從頂點(diǎn) w w w到頂點(diǎn) v v v也有路徑,則稱為 v v v和 w w w是強(qiáng)連通的,若該圖中的任意兩個頂點(diǎn)間都是強(qiáng)連通的,則稱該圖為強(qiáng)連通圖
。有向圖中的極大連通子圖稱為強(qiáng)連通分量
。
2.15 生成樹、最小生成樹與生成森林
具有 n n n個頂點(diǎn)的連通圖的極小連通子圖稱為生成樹
,生成樹包含這一連通圖的 n n n個頂點(diǎn)和 n − 1 n-1 n−1條邊。這里的極小是盡可能少地包含邊。
通常把各邊帶權(quán)的連通圖稱為連通網(wǎng),在連通網(wǎng)的所有生成樹中,對每一棵生成樹的各邊權(quán)值求和,其中權(quán)值最小的生成樹稱為該連通網(wǎng)的最小生成樹
。
非連通圖的各連通分量的生成樹組成的森林稱為生成森林
。
3. 圖的性質(zhì)
3.1 性質(zhì)1
若圖中有 n n n個頂點(diǎn) v 1 , v 2 , … , v n v_1,v_2,dots,v_n v1?,v2?,…,vn?, e e e條邊或弧,其中頂點(diǎn)的度分別為 T D ( v 1 ) , T D ( v 2 ) , … , T D ( v n ) TD(v_1),TD(v_2),dots,TD(v_n) TD(v1?),TD(v2?),…,TD(vn?),則有
e = 1 2 ∑ i = 1 n T D ( v i ) e=frac {1} {2} sum_{i=1} ^ {n} TD(v_i) e=21?i=1∑n?TD(vi?)
3.2 性質(zhì)2
一棵有 n n n個頂點(diǎn)的生成樹有且僅有 n − 1 n-1 n−1條邊。
4. 圖的存儲結(jié)構(gòu)
4.1 鄰接矩陣
用于無向圖、有向圖
在存儲含有 n n n個結(jié)點(diǎn)的圖 G = { V , { V R } } G={V,{VR}} G={V,{VR}}時,將圖中的所有頂點(diǎn)存儲在長度為 n n n的一維數(shù)組中,將圖中邊或弧的信息存儲在 n × n n imes n n×n的二維數(shù)組中,我們稱這個二維的數(shù)組為鄰接矩陣。假設(shè)圖 G G G中頂點(diǎn) v v v和頂點(diǎn) w w w在一維數(shù)組中的下標(biāo)分別為 i i i、 j j j,則該圖對應(yīng)各鄰接矩陣定義如下:
若該圖為無向圖或有向圖,則
A r c s [ j ] [ j ] = { 1 , ( v , w ) ∈ E 或 < v , w > ∈ A 0 , 其 他 Arcs[j][j]=egin{cases} 1, & (v,w)in E或<v,w>in A 0, & 其他 end{cases} Arcs[j][j]=??????1,0,?(v,w)∈E或<v,w>∈A其他? 若該圖為無向網(wǎng)或有向網(wǎng),則
A r c s [ j ] [ j ] = { w i j , ( v , w ) ∈ E 或 < v , w > ∈ A ∞ , 其 他 Arcs[j][j]=egin{cases} w_{ij}, & (v,w)in E或<v,w>in A infty, & 其他 end{cases} Arcs[j][j]=??????wij?,∞,?(v,w)∈E或<v,w>∈A其他? 其中, w i j w_{ij} wij?為邊或弧對應(yīng)的權(quán)值。
定義圖中的頂點(diǎn):
class VertexMatrix(object): """ 圖的一個頂點(diǎn) """ def __init__(self, data): self.data = data self.info = None
定義圖:
class GraphMatrix(object): """ 圖的鄰接矩陣 """ def __init__(self, kind): # 圖的類型: 無向圖, 有向圖, 無向網(wǎng), 有向網(wǎng) # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork, self.kind = kind # 頂點(diǎn)表 self.vertexs = [] # 邊表, 即鄰接矩陣, 是個二維的 self.arcs = [] # 當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù) self.vexnum = 0 # 當(dāng)前邊(弧)數(shù) self.arcnum = 0
無向圖及其鄰接矩陣、有向網(wǎng)及其鄰接矩陣如下:
A r c s = [ 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 ] A r c s = [ ∞ 1 2 ∞ ∞ ∞ 3 ∞ ∞ ∞ ∞ 4 ∞ ∞ ∞ ∞ ] Arcs=egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix} Arcs=egin{bmatrix} infty & 1 & 2 & infty infty & infty & 3 & infty infty & infty & infty & 4 infty & infty & infty & infty end{bmatrix} Arcs=?????0101?1001?0001?1110??????Arcs=?????∞∞∞∞?1∞∞∞?23∞∞?∞∞4∞?????
?
鄰接矩陣的特點(diǎn)如下:
(1) 由于在創(chuàng)建鄰接矩陣時,輸入頂點(diǎn)的順序不同,其相應(yīng)的鄰接矩陣也是不同的;
(2) 對于含有 n n n個頂點(diǎn)的圖,其鄰接矩陣一定是 n × n n imes n n×n的二維數(shù)組;
(3) 無向圖的鄰接矩陣具有對稱性,可采用壓縮存儲的方式存儲;
(4) 對于無向圖,若某一頂點(diǎn) v v v在一維數(shù)組中的下標(biāo)為 i i i,則該頂點(diǎn)的度為鄰接矩陣的第 i + 1 i+1 i+1行中值為1的元素的總數(shù)目;
(5) 對于有向圖,若某一頂點(diǎn) v v v在一維數(shù)組中的下標(biāo)為 i i i,則該頂點(diǎn)的出度為鄰接矩陣的第 i + 1 i+1 i+1行中值為1的元素的總數(shù)目,入度為鄰接矩陣的第 i + 1 i+1 i+1列中值為1的元素的總數(shù)目。
構(gòu)造一個具有 n n n個頂點(diǎn) e e e條邊的無向網(wǎng)的時間復(fù)雜度為 O ( n 2 + n e ) O(n^2+ne) O(n2+ne),其中對鄰接矩陣的初始化使用了 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)的時間。
4.2 鄰接表
用于無向圖、有向圖
使用鄰接表存儲圖時,將圖分為兩個部分:
第一部分為圖中每一個頂點(diǎn)及與該頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的第一條邊或弧,可以這樣定義:
class VertexAdjacencyList(object): """ 圖的一個頂點(diǎn) """ def __init__(self, data): self.data = data # 與該頂點(diǎn)相連的第一條邊FirstArc self.FirstArc = None
使用data
域來存儲圖中的每一個頂點(diǎn),FirstArc
域來存儲與該頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的第一條弧或邊,通常情況下指向第二部分單鏈表的第一個結(jié)點(diǎn)。
第二部分為用一個結(jié)點(diǎn)來存儲圖中的每一條邊或弧,該結(jié)點(diǎn)由adjacent
域、info
域和NextArc
域組成,這些結(jié)點(diǎn)形成了單鏈表。這部分結(jié)點(diǎn)可以這樣定義:
class ArcAdjacencyList(object): """ 圖的一個邊(弧) """ def __init__(self, adjacent): # 鄰接點(diǎn)或弧頭, 與該頂點(diǎn)相連的另一頂點(diǎn)的index self.adjacent = adjacent self.info = None # 與該邊(弧)依附于相同頂點(diǎn)的下一條邊(弧)NextArc self.NextArc = None
根據(jù)上面圖的鄰接表可以這樣定義:
class GraphAdjacencyList(object): """ 圖的鄰接表 """ def __init__(self, kind): # 圖的類型: 無向圖, 有向圖, 無向網(wǎng), 有向網(wǎng) # kind: Undigraph, Digraph, Undinetwork, Dinetwork, self.kind = kind # 鄰接表 self.vertices = [] # 當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù) self.vexnum = 0 # 當(dāng)前邊(弧)數(shù) self.arcnum = 0
無向圖及其鄰接表:
有向網(wǎng)及其鄰接表、逆鄰接表:
鄰接表的特點(diǎn)如下:
(1) 由于存儲邊或弧通過不同的連接順序會形成不同的單鏈表,所以圖的鄰接表不是唯一的;
(2) 對于具有 e e e條邊的無向圖,使用鄰接表存儲時需要 2 e 2e 2e個結(jié)點(diǎn)來存儲圖的邊,而對于具有 e e e條弧的有向圖,使用鄰接表存儲時需要 e e e個結(jié)點(diǎn)來存儲圖的弧;
(3) 對于具有 n n n個頂點(diǎn) e e e條邊或弧的稀疏圖而言,若采用鄰接矩陣存儲,則需要 n 2 n^2 n2個存儲空間來存儲圖的邊或弧,而采用鄰接表存儲時,則至多需要 2 e 2e 2e個結(jié)點(diǎn)存儲圖的邊或弧,所以稀疏圖的存儲使用鄰接表會更節(jié)省空間;
(4) 對于無向圖,頂點(diǎn)的度等于該頂點(diǎn)對應(yīng)的單鏈表中結(jié)點(diǎn)的總數(shù)目;
(5) 對于有向圖,若某一頂點(diǎn)在數(shù)組中的下標(biāo)為 i i i,則該頂點(diǎn)的出度為該頂點(diǎn)對應(yīng)的單鏈表中結(jié)點(diǎn)的總數(shù)目,入度為鄰接表中adjacent
域內(nèi)值為 i i i的結(jié)點(diǎn)的總數(shù)目。
在使用鄰接表存儲圖時,計算圖中的某一頂點(diǎn)的出度很容易,但是在計算其入度時,最壞的情況需要遍歷整個鄰接表。因此,有時為了方便計算頂點(diǎn)的入度,可以為該圖建立一個逆鄰接表。
在建立鄰接表或逆鄰接表時,如輸入的頂點(diǎn)信息為頂點(diǎn)的編號,則建立鄰接表或逆鄰接表的時間復(fù)雜度為 O ( n + e ) O(n+e) O(n+e),否則,需要通過查找才能確定頂點(diǎn)在圖中的位置,對應(yīng)的時間復(fù)雜度為 O ( n e ) O(ne) O(ne)。
4.3 十字鏈表
用于有向圖
十字鏈表通常用于有向圖,可以將它看成鄰接表和逆鄰接表的結(jié)合。同樣分為兩個部分,即頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)部分和弧部分,通常將頂結(jié)點(diǎn)存儲在數(shù)組中,弧結(jié)點(diǎn)存儲在單鏈表中。
頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)包含data
域、FirstIn
域和FirstOut
域,其中data
域存儲頂點(diǎn)的值,FirstIn
域指向以當(dāng)前頂點(diǎn)為弧頭的第
一條弧和FirstOut
域指向以當(dāng)前頂點(diǎn)為弧尾的第一條弧。
弧結(jié)點(diǎn)包含TailVertex
域、HeadVertex
域、HeadLink
域、TailLink
域和info
域,其中TailVertex
域存儲當(dāng)前弧的弧尾在數(shù)組中的下標(biāo),HeadVertex
域存儲當(dāng)前弧的弧頭在數(shù)組中的下標(biāo),HeadLink
域指向與當(dāng)前弧有相同弧頭的下一條弧,TailLink
域指向與當(dāng)前弧有相同弧尾的下一條弧,info
域存儲當(dāng)前弧的其他信息。
頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)定義如下:
class VertexOrthogonalList(object): """ 有向圖的一個頂點(diǎn) """ def __init__(self, data): self.data = data # 以該頂點(diǎn)為弧頭的第一條弧FirstIn self.FirstIn= None # 以該頂點(diǎn)為弧尾的第一條弧FirstOut self.FirstOut= None
弧結(jié)點(diǎn)定義如下:
class ArcOrthogonalList(object): """ 有向圖的一條弧 """ def __init__(self): # 當(dāng)前弧中弧頭在數(shù)組中的下標(biāo)HeadVertex self.HeadVertex = None # 當(dāng)前弧中弧尾在數(shù)組中的下標(biāo)TailVertex self.TailVertex = None # 與當(dāng)前弧有相同弧頭的下一條弧HeadLink self.HeadLink = None # 與當(dāng)前弧有相同弧尾的下一條弧TailLink self.TailLink = None self.info = None
十字鏈表表示的有向圖定義如下:
class GraphOrthogonalList(object): """ 有向圖的十字鏈表 """ def __init__(self): # 十字鏈表 self.vertices = [] # 當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù) self.vexnum = 0 # 當(dāng)前邊(弧)數(shù) self.arcnum = 0
有向圖及其十字鏈表:
4.4 鄰接多重表
用于無向圖
在使用鄰接表存儲無向圖時,圖的每一條邊都對應(yīng)兩個結(jié)點(diǎn),由于這兩個結(jié)點(diǎn)屬于兩個不同的鄰接表,所以在進(jìn)行刪除操作時需要對鄰接表的兩條單鏈表進(jìn)行操作,比較麻煩,所有引出了鄰接多重表。鄰接多重表同樣分為兩個部分,即頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)和邊結(jié)點(diǎn),通常將頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)存儲在數(shù)組中,邊結(jié)點(diǎn)存儲在單鏈表中。
頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)包含data
域和FirstEdge
域,其中data
域存儲頂點(diǎn)的值,FirstEdge
域指向與當(dāng)前頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的第一條邊。
邊結(jié)點(diǎn)包含mark
域、VertexOne
域、NextEdgeOne
域、VertexTwo
域、NextEdgeTwo
域和info
域,其中mark
域用于標(biāo)記當(dāng)前是否被訪問,VertexOne
域和VertexTwo
域分別存儲當(dāng)前邊的兩個頂點(diǎn)在數(shù)組中的下標(biāo),NextEdgeOne
域指向與VertexOne
域?qū)?yīng)的頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的下一條邊,NextEdgeTwo
域指向與VertexTwo
域?qū)?yīng)的頂點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的下一條邊,info
域存儲當(dāng)前邊的其他信息。
頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)定義如下:
class VertexAdjacencyMultitable(object): """ 無向圖的一個頂點(diǎn) """ def __init__(self, data): self.data = data # 與該頂點(diǎn)相連的第一條邊FirstEdge self.FirstEdge = None
邊結(jié)點(diǎn)定義如下:
class Edge(object): """ 無向圖的鄰接多重表 """ def __init__(self): # 用來標(biāo)記當(dāng)前邊是否已被訪問過 self.mark = None # 該邊的兩個頂點(diǎn)在數(shù)組中的下標(biāo) self.VertexOne = None self.VertexTwo = None # 與VertexOne對應(yīng)的頂點(diǎn)相連的下一條邊NextEdgeOne self.NextEdgeOne = None # 與VertexTwo對應(yīng)的頂點(diǎn)相連的下一條邊NextEdgeTwo self.NextEdgeTwo = None self.info = None
多重鄰接表表示的圖定義如下:
class GraphAdjacencyMultitable(object): """ 無向圖的鄰接多重表 """ def __init__(self): self.vertices = [] self.vertexnum = 0 self.edgenum = 0
無向圖及其鄰接多重鏈表:
到此這篇關(guān)于P-ython數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之圖的存儲結(jié)構(gòu)詳解的文章就介紹到這了,更多相關(guān)P-ython圖的存儲結(jié)構(gòu)內(nèi)容請搜索服務(wù)器之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持服務(wù)器之家!
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