1.邏輯回歸的限制

邏輯回歸分類的時候，是把線性的函數輸入進sigmoid函數進行轉換，后進行分類，會在圖上畫出一條分類的直線，但像下圖這種情況，無論怎么畫，一條直線都不可能將其完全分開。

但假如我們可以對輸入的特征進行一個轉換，便有可能完美分類。比如：

創造一個新的特征x1：到(0,0)的距離，另一個x2：到(1,1)的距離。這樣可以計算出四個點所對應的新特征，畫到坐標系上如以下右圖所示。這樣轉換之后，就可以將轉換后的數據，輸入給一個邏輯回歸，將其完全分開。

雖然我們不容易直接找到這樣的一個轉換標準，但我們可以通過邏輯回歸去尋找標準，使用第一個邏輯回歸，尋找第一個轉換后的參數x1， 再使用第二個邏輯回歸，尋找第二個轉換后的參數x2，將這兩個作為新的輸入，給到第三個邏輯回歸，即可完成分類。

因此，我們可以通過參數的調整，使得輸入的x1，x2歸屬于兩類的概率（其實就是一個0-1中間的數字，我們暫且稱為概率）如下圖所示。那么左上角的點屬于兩類的概率就是（0.73,0.05），同理，其他的點也有屬于兩類的概率，將其放到坐標軸上，就完成了對特征的轉換。將轉換之后的結果作為輸入，給到一個新的邏輯回歸，就可以完成分類。

2.深度學習的引入

可以看出來，每一個邏輯回歸單元，既可以作為接受者，接收輸入數據，也可以作為發送者，將自己的輸出結果作為其他的邏輯回歸單元的輸入數據。

多個邏輯回歸單元交織在一起，就稱為神經網絡，每一個邏輯回歸單元，就是一個神經元。這種學習方式，就叫做深度學習。

以下是一個例子：

假設初始輸入數據是1和-1，并且所有的權重我們都知道，比如兩個數據到第一層兩個神經元的權重分別是1，-1，-2, 1，然后通過sigmoid函數轉換后，那么我們就可以計算出結果分別是0.98,0.12，同樣的，假如我們知道后面所有的權重（參數），我們最終可以得到兩個輸出，0.62,0.83

當最開頭的數據輸入是0和0，通過同樣的轉換，可以得到輸出0.51,0.85。可以看出，無論輸入是什么樣的，我們總能夠通過一系列參數，進行一系列轉換，將其輸出成特征完全不一樣的數據。

因此，整個網絡可以看作是一個函數。更一般地，如下圖所示，每一個圓圈都是一個神經元，最前面的輸入叫做輸入層，最后面沒有接任何神經元的，叫做輸出層，中間所有的叫做隱藏層。像下圖這樣每一個神經元都連接到下一層所有的神經元，叫做全連接神經網絡。

3.深度學習的計算方式

對于深度學習，通常使用矩陣運算的方式進行計算。

更一般地：

即上一層的參數*上一層給的輸入值 + 偏置項，再對整體進行一個sigmoid函數轉化，就可以輸出一個本層的數據，供下層使用。對于所有的神經元均是一樣的操作，一直到輸出層。

4.神經網絡的損失函數

對于一個樣本來說，損失函數如下圖所示：

比如輸入的是樣本“1”，有256個像素點，也就是256個特征，將其輸入神經網絡，最終得到的輸出是一個10維向量，每一個維度，都會有一個概率值，比如是“1”的概率為0.8， “2”的概率為0.1等等，而實際的標簽是“1”，也就是只有y1hat是1，其他是0。將這兩個向量求出交叉熵并求和，如上圖的式子，得出的C就是這個樣本的損失。

對于整體而言，把所有的樣本損失算出來并求和即可。

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