1、堆排序定義
n個關(guān)鍵字序列Kl，K2，…，Kn稱為堆，當(dāng)且僅當(dāng)該序列滿足如下性質(zhì)(簡稱為堆性質(zhì))：
(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤ )
若將此序列所存儲的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉樹的存儲結(jié)構(gòu)，則堆實質(zhì)上是滿足如下性質(zhì)的完全二叉樹：樹中任一非葉結(jié)點的關(guān)鍵字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)結(jié)點的關(guān)鍵字。
【例】關(guān)鍵字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分別滿足堆性質(zhì)(1)和(2)，故它們均是堆，其對應(yīng)的完全二叉樹分別如最小堆示例和最大堆示例所示。
堆排序算法
2、最大堆和最小堆
（1）根結(jié)點(亦稱為堆頂)的關(guān)鍵字是堆里所有結(jié)點關(guān)鍵字中最小者的堆稱為最小堆。
（2）結(jié)點(亦稱為堆頂)的關(guān)鍵字是堆里所有結(jié)點關(guān)鍵字中最大者，稱為最大堆。
注意：
（1）堆中任一子樹亦是堆。
（2）以上討論的堆實際上是二叉堆(Binary Heap)，類似地可定義k叉堆。
3、堆排序的基本思路如下:
（1）把待排序數(shù)組構(gòu)造成一個最大堆
（2）取出樹的根(最大(小)值, 實際算法的實現(xiàn)并不是真正的取出)
（3）將樹中剩下的元素再構(gòu)造成一個最大堆(這里的構(gòu)造和第1步不一樣，具體看實現(xiàn)部分)
（4）重復(fù)2,3操作，直到取完所有的元素
（5）把元素按取出的順序排列，即得到一個有序數(shù)組(在代碼實現(xiàn)里是通過交換操作"無形中"完成的)
在開始實現(xiàn)算法先看幾個結(jié)論(證明略):
（1）完全二叉樹A[0:n-1]中的任意節(jié)點，其下標(biāo)為 ii, 那么其子節(jié)點的下標(biāo)分別是為2i+12i+1 和 2(i+1)2(i+1)
（2）大小為n的完全二叉樹A[0:n-1]，葉子節(jié)點中下標(biāo)最小的是⌊n2⌋⌊n2⌋， 非葉子節(jié)點中下標(biāo)最大的是⌊n2⌋−1⌊n2⌋−1
（3）如果數(shù)組是一個最大堆，那么最大元素就是A[0]
（4）最大堆中任意節(jié)點的左右子樹也是最大堆
4、實現(xiàn)示例
這里的算法實現(xiàn)使用的是最大堆，首先來解決由數(shù)組建立最大堆的問題:
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
|
// 用于計算下標(biāo)為i的節(jié)點的兩個子節(jié)點的下標(biāo)值#define LEFT(i) (2 * (i) + 1)#define RIGHT(i) (2 * ((i) + 1)) /* 此函數(shù)把一顆二叉樹中以node為根的子樹變成最大堆。 * 注意: 使用的前提條件是 node節(jié)點的左右子樹(如果存在的話)都是最大堆。 * 這個函數(shù)是整個算法的關(guān)鍵。 */void max_heapify(int heap[], int heap_size, int node){ // 這里先不考慮整數(shù)溢出的問題 // 先把注意力放在主要的功能上 // 如果數(shù)據(jù)規(guī)模夠大,int類型必然會溢出 int l_child = LEFT(node); int r_child = RIGHT(node); int max_value = node; if (l_child < heap_size && heap[l_child] > heap[max_value]) { max_value = l_child; } if (r_child < heap_size && heap[r_child] > heap[max_value]) { max_value = r_child; } if (max_value != node) { swap_val(heap + node, heap + max_value); // 之后還要保證被交換的子節(jié)點構(gòu)成的子樹仍然是最大堆 // 如果不是這個節(jié)點會繼續(xù)"下沉"，直到合適的位置 max_heapify(heap, heap_size, max_value); }} /* 將一個數(shù)組構(gòu)造成最大堆 * 自底向上的利用max_heapify函數(shù)處理 */void build_max_heap(int heap[], int heap_size){ if (heap_size < 2) { return; } int first_leaf = heap_size >> 1;//第一個葉子節(jié)點的下標(biāo) int i; // 從最后一個非葉子節(jié)點開始自底向上構(gòu)建， // 葉子節(jié)點都看作最大堆，因此可以使用max_heapify函數(shù) for (i = first_leaf - 1; i >= 0; i--) { max_heapify(heap, heap_size, i); }} |
函數(shù)max_heapify將指定子樹的根節(jié)點"下沉"到合適的位置, 最終子樹變成最大堆， 該過程最壞時間復(fù)雜度為O(logn)O(log?n)。函數(shù)build_max_heap自底向上的調(diào)用max_heapify, 最終整個數(shù)組滿足最大堆，迭代過程的復(fù)雜度為O(nlogn)O(nlog?n)， 因此整個函數(shù)的最壞時間復(fù)雜度也是O(nlogn)O(nlog?n)。 而如果當(dāng)前數(shù)組已經(jīng)是最大堆了，例如數(shù)組原本是降序排列的， 那么max_heapify過程的時間復(fù)雜度就是O(1)O(1), 此時build_max_heap的時間復(fù)雜度是O(n)O(n)，這是最好的情況。
接著實現(xiàn)堆排序過程：
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
|
/* heap sort 主函數(shù) */void heap_sort(int heap[], int heap_size){ if (heap == NULL || heap_size < 2) { return; } //構(gòu)建最大堆 build_max_heap(heap, heap_size); int i; for (i = heap_size - 1; i > 0; i--) { /* 把當(dāng)前樹的根節(jié)點交換到末尾 * 相當(dāng)于取出最大值，樹的規(guī)模變小。 * 交換后的樹不是最大堆，但是根的兩顆子樹依然是最大堆 * 滿足調(diào)用max_heapify的條件。之所以這樣交換， * 是因為用max_heapify處理時間復(fù)雜度較低， * 如果不交換而直接"取出"heap[0], 此處可能要使用 * build_max_heap重新建立最大堆，時間復(fù)雜度較大 */ swap_val(heap, heap + i); heap_size--; //維護(hù)最大堆 max_heapify(heap, heap_size, 0); }} |
最終的堆排序算法中，build_max_heap的復(fù)雜度是已知的， 迭代部分和build_max_heap的實現(xiàn)類似，而且不難看出， 交換后的根元素在下一次建堆過程中必然下沉到堆底，因此無論情況好壞， 該迭代過程時間復(fù)雜度都是O(nlogn)O(nlog?n)， 所以整個算法的最好最壞和平均時間復(fù)雜度都是O(nlogn)O(nlog?n)。
堆排序算法的空間復(fù)雜度是O(1)O(1)，從實現(xiàn)上很容易看出來。
